数学
直行ルートどこでも標準的な専攻であり、博士課程プログラムが初日から前提とする証明ベースの核心――解析学、代数学、位相幾何学――を確実に含む唯一のものである。
研究数学者になることは医学を除けば最も長い部類の徒弟修業だが、その費用構造はほとんどのエリート職業とは逆である。世界中のほぼすべての数学の博士課程は資金援助付きで、授業料は免除され、生活費や給与が支払われる。学科が教育を担う博士課程の学生を必要としており、この分野が才能を富に左右させないと早くから決めてきたからだ。代償は授業料ではなく時間と確率で支払われる。
パイプラインは終盤で残酷なほど狭まる。米国だけで毎年およそ1900人が数学の博士号を取得する一方、常勤の研究職はそのごく一部の割合でしか開かれない。二、三カ国にまたがることも珍しくない数年間の任期付きポスドク職が、常勤職に就く前の通常の道筋となっている。慰めは強い出口市場があることである。同じ訓練は金融、テクノロジー、政府機関で、学界がとても及ばない給与で重宝される。
The route in
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1
証明ベースの基礎とコンクール
18歳頃まで堅実な学校数学に加え、将来の研究者の多くにとって、オリンピック文化を通じた本物の証明への初めての接触がある。国際数学オリンピックは1959年から開催されており、中国、ロシア、イラン、米国などの国内強化合宿は後のフィールズ賞受賞者の目立った割合を輩出してきた。コンクールは助けにはなるが必須ではなく、優秀な研究者の多くはオリンピック経験者ではない。
The filter大学入学――中国の高考、インドのJEE、英国のAレベル、北米の成績とテストの組み合わせなど。
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2
数学の学士号
3～4年学部教育の要は最初の証明ベースの科目である実解析と抽象代数にあり、暗記が通用しなくなり、大半の学生が実際に論証を組み立てられるかどうかを見出す場である。米国のREUのような研究プログラムでの経験と、優れた推薦状が、広範な学習履歴以上に重要になる。
The filter証明科目そのものによる選別、その後大学院プログラムへの入学。推薦状、成績、研究経験が重視される。
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3
修士号または優等年次
1～2年大陸ヨーロッパのボローニャ・システムは博士号取得前に研究修士号を必須としている。英国ではケンブリッジのパートIII（アドバンスト・スタディ修士、19世紀以来の伝統的な研究への登竜門）のような濃密な一年課程を提供する。北米のプログラムは通常、修士課程を博士課程に組み込む。
The filter博士課程への入学――実際には特定の指導教官と学科に、研究を行えると納得させることである。
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4
数学の博士課程
3～6年新しい数学を生み出す徒弟修業である。（米国式では）資格試験を経て、その後は誰も解き方を知らない問題に一人で、また指導教官とともに何年も取り組む。学位論文は独自の貢献を含まなければならず、米国のプログラムは平均5～6年、ヨーロッパでは修士号取得後3～4年である。
The filter学位論文とその審査――その分野の査読者が新規かつ正しいと認める独自の成果。
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5
ポスドク巡回
2～6年それぞれ二～三年の任期付き研究職を一つから三つ、しばしば異なる大陸で経験する。これは現代のこの分野の構造的な特徴であり、寄り道ではない。この時期に研究者は学位論文を独立した研究プログラムと国際的に際立つ業績へと転換させなければならない。
The filter常勤職市場――研究大学のテニュアトラックの一つの空きに数百件の応募が集まることも珍しくない。
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6
常勤職と終身在職権
終身在職権まで5～7年テニュアトラックの教授職、フランスのCNRS研究職、英国やコモンウェルスの講師職、あるいはドイツの教授職――ドイツでは伝統的に第二の学位論文であるハビリタツィオーンが必要である。あるいは、博士号取得後のどの段階でも多くの人が選ぶ、産業界への恒久的な横滑りという道もある。
The filter終身在職権またはハビリタツィオーンの審査――委員会が十年分の研究、教育、この分野での地位を判定する。
参入コスト
$0～$30万
実質的な授業料の負担が生じるのは学部課程のみである。ドイツ、フランス、北欧諸国、アルゼンチンではほぼ無料だが、米国の私立大学では20万～30万ドル以上にのぼる。数学の博士課程はほぼ普遍的に資金援助が付き、米国の生活費は2024年時点でおよそ2万5千～4万5千ドルで授業料は免除される。ヨーロッパの多くでは博士研究員は給与を受け取る雇用者である。真のコストは市場水準を下回る収入での十年間と、最後に待つ学術界の狭き門というリスクである。
What to study
応用数学
モデリング志向の学生向け抽象性の一部を微分方程式、数値解析、モデリングに置き換える。応用研究、産業数学、そして工学や金融への給与の良い出口の自然な基盤となる。
物理学
古典的な隣人ニュートンから弦理論に至るまで、歴史的にこの分野の最大の問題の源泉であり、証明科目に強い物理専攻の学生は数理物理学、幾何学、解析学の博士課程にしばしば移行する。
計算機科学
離散・計算面のために理論計算機科学は事実上数学の一分野であり――計算複雑性、暗号、アルゴリズム――P対NP問題にはクレイの百万ドル懸賞金がかかっている。数学との二重専攻は今や最も一般的な準備の一つである。
統計学
データに向き合う道のために純粋数学者が学ぶのと同じ測度論的確率論に基盤を置きながら、この職業の中で最も強い雇用市場へと通じる。統計・データサイエンス職は研究数学よりもはるかに多くの数学卒業生を吸収している。
Where it is taught best
ゲッティンゲン大学
ドイツガウス、リーマン、クライン、ヒルベルトのもとで1933年のナチス粛清が一年でそれを空にするまで世界の数学の首都であり、そのゼミナール方式はあらゆる場所の数学教育を形作った。
パリ高等師範学校
フランスどこよりも集中してエリート数学者を輩出してきた機関で、フランスのフィールズ賞受賞者――人口比では最多――の大多数がリュ・ドゥルムのキャンパスを経ている。
ケンブリッジ大学
英国ニュートン、ハーディ、リトルウッド、ラマヌジャンの本拠地。一年間のパートIII課程は数学トリポスの時代以来、研究数学への登竜門であり続けている。
プリンストン大学と高等研究所
米国プリンストンの数学科と、隣接するアインシュタイン、ゲーデル、フォン・ノイマンの避難所であった高等研究所は、南北アメリカで最も密度の高い研究数学の集積地を形成する。ワイルズはここでフェルマーの証明を行った。
モスクワ大学
ロシアコルモゴロフらが率いた力学数学部は、その門下が今も世界中の一流学科を担うソビエトの数学派を築いた。
京都大学（数理解析研究所）
日本日本の純粋数学の中心地。数理解析研究所はフィールズ賞受賞者、広中平祐と森重文を育て、迎え入れた。
北京大学
中国中国最強の数学学科であり、IMOチームメンバーの最も一般的な進学先で、この国の急速に高まる研究プレゼンスと新しい研究所を支えている。
IMPA（リオデジャネイロ）
ブラジルラテンアメリカを代表する純粋・応用数学の研究所。卒業生のアルトゥール・アビラは2014年に同地域初のフィールズ賞を受賞し、IMPAは2018年のICMを開催した。
Licences and exams
数学の博士号
世界共通普遍的な研究資格である。数学には研究室免許も国家試験も存在しないため、博士号――認められた独自の貢献――がこの職業唯一の真の関門であり、事実上あらゆる研究職・大学職に必要とされる。
ハビリタツィオーン／HDR
ドイツ、フランス、中欧ドイツ語圏の正教授職（ハビリタツィオーン）や、フランスで博士課程の指導資格を得るための（研究指導資格＝HDR）ために伝統的に必要とされる、博士号取得後の第二の学位論文。研究大学を発明した19世紀のドイツ制度の名残である。
数学アグレガシオン
フランス18世紀から実施されているフランスの極めて競争率の高い国家試験で、終身の公務員教員資格を与える。多くのフランスの研究数学者が通過儀礼としてこれを受験し、黒板の前で審査員を前に行われるその口頭試験は伝説的である。
勅許数学者（CMath）
英国数学・応用数学協会が授与する、産業界や政府機関で働く実務数学者のための英国の専門称号であり、工学がそうしたように応用系がみずからを制度化していることの証である。
The other way in
トレーディングフロアへ直行
ジェーン・ストリート、シタデル、ツーシグマといったクオンツ・トレーディング会社は、学士課程からオリンピックのメダリストやパトナム高得点者を、正教授の給与を上回る待遇で直接採用しており、博士号なしにプロの数学者になる最も一般的な方法として「クオンツ」が挙げられる。
一つの成果を出したアマチュア
数学は今も証明の力だけで部外者を受け入れる。サンディエゴの主婦マージョリー・ライスは1975年にマーティン・ガードナーのコラムを読んで新しい五角形タイル張りの四つの族を発見し、生物老年学者オーブリー・デ・グレイは2018年に平面の彩色数を改善した。どちらも公表され、今や記録の一部となっている。
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