有用な数学は小さいです。複利成長、現在価値、手数料やインフレの調整。複雑さは通常、核となる恒等式ではなく商品から来ます。
以下の例は教育用の丸い数字です。予測・相場・個人向け推計ではありません。
Formulas
- 将来価値（一括） — FV = PV × (1 + r)^n — rは期間利回り、nは期間数。
- 将来価値（定期貯蓄） — 期末の定期拠出Cで、r ≠ 0のとき FV ≈ C × [((1+r)^n − 1) / r]。
- 実質利回り（近似） — r_real ≈ r_nominal − i（iはインフレ率）。精密にはフィッシャー式を使います。
- 72の法則 — 倍増年数 ≈ 72 / (100 × r)。rをパーセントで — 例: 8 → 約9年。
Worked examples
- 一括の経路 — €10,000を6%で20年 → 手数料・税前で約€32,100。利回りを3%にすると同じ期間でおおよそ€18,100。
- 拠出の経路 — 月€300を5%で25年は、拠出＋成長の合計がおおよそ€175k規模（例示。タイミング慣例は異なります）。
- 手数料の楔 — 総7%の経路で年1%手数料なら純〜6%。30年後に0.1%との最終差は「1%」ではなく大きくなります。
- インフレの削減 — 名目8%にインフレ3%なら実質およそ5%。明細書は豊かに見えても購買力の複利は遅くなり得ます。
Rules of thumb
- 72 / 利回り — 中単位〜低二桁の安定複利に対する倍増期間の素早い点検。
- 貯蓄率を先に — 期待リターン0.2%を最適化する前に、拠出率を2–5ポイント動かせるか問います。
- 費用予算 — 優位が時間なら、オールイン投資費用を退屈なほど低く保ちます。
- バッファ年数 — 引出期が近いなら、現金・債券バッファを「感覚」ではなく引出年数で測ります。
Variables
- PV / 元本 — 成長が作用する開始残高。
- r（利回り） — 期間成長率 — 常に総 vs 純、名目 vs 実質を問います。
- n（期間） — 残りの複利区間の数。
- C（拠出） — 繰り返しの追加。しばしば最も制御しやすい入力。
- 費用 — rを下げる手数料・スプレッド・ロード・税。
商品をPV・r・n・C・費用に翻訳できなければ、何が複利されるかまだ理解していません。