有用な数学は小さい。複利成長、現在価値、手数料やインフレの調整。複雑さは通常、核心の恒等式ではなく商品から来る。
以下の例は教育用の丸い数字である。予測・気配値・個別の見通しではない。
Formulas
- 将来価値（一時金） — FV = PV × (1 + r)^n — rは期間金利、nは期間数。
- 将来価値（定期貯蓄） — 期末の定期拠出Cのとき、r ≠ 0なら FV ≈ C × [((1+r)^n − 1) / r]。
- 実質金利（近似） — r_real ≈ r_nominal − i（iはインフレ率）。精密にはフィッシャー式を用いる。
- 72の法則 — 倍増年数 ≈ 72 / (100 × r)。rをパーセントで — 例: 8 → 約9年。
Worked examples
- 一時金の経路 — €10,000を6%で20年 → 手数料・税前で約€32,100。金利を3%にすると同じ時間軸でおおよそ€18,100。
- 拠出の経路 — 月€300を5%で25年なら、拠出＋成長の合計はおおよそ€175k規模（例示。タイミング慣例は異なる）。
- 手数料の楔 — 総7%の経路で年1%手数料なら純〜6%。30年後、0.1%との最終差は「1%」ではなく大きい。
- インフレの刈り込み — 名目8%にインフレ3%なら実質おおよそ5%。明細書は豊かでも購買力の複利は遅くなり得る。
Rules of thumb
- 72 / 金利 — 中一桁〜低二桁の安定複利の倍増期間を素早く点検する。
- 貯蓄率を先に — 期待リターン0.2%を最適化する前に、拠出率を2–5ポイント動かせるか問え。
- コスト予算 — 優位が時間なら、総投資コストを退屈なほど低く保つ。
- バッファ年数 — 支出期に近いときは、現金・債券バッファを「感覚」ではなく引出年数で測る。
Variables
- PV / 元本 — 成長が作用する開始残高。
- r（金利） — 期間成長率 — 常に総か純か、名目か実質かを問う。
- n（期間） — 残る複利区間の数。
- C（拠出） — 繰り返しの追加。しばしば最も制御可能な入力。
- コスト — rを下げる手数料・スプレッド・ロード・税金。
商品をPV・r・n・C・コストに翻訳できないなら、何が複利されるかまだ理解していない。